线性代数示例

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

解题步骤 1

该转换定义了从 $ℝ^{3}$ 到 $ℝ^{3}$ 的映射。若要证明该转换是线性转换，必须证明该转换满足标量乘法、加法和零向量。

p: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

解题步骤 2

首先证明变换将保留此性质。

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

解题步骤 3

建立两个矩阵以验证加法性质仍然存在于 $p$ 。

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

解题步骤 4

将两个矩阵相加。

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

解题步骤 5

对矢量进行转换。

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

解题步骤 6

重新排列 $\frac{26}{14}$ 。

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

解题步骤 7

通过变量分组，将结果分解为两个矩阵。

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 8

因为不满足变换的加法性质，所以这不是线性变换。

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$

线性代数 示例